De millenniumprijsproblemen(opent in een nieuw venster) behoren tot de meest fundamentele vraagstukken in de voorhoede van de wiskunde. De vraag of een gladde driedimensionale vloeistofbeweging kan instorten, is al ongeveer 90 jaar onopgelost.
Een belangrijk doel van ons werk is wetenschappers in staat te stellen onderzoek en technologie te bevorderen die de hele mensheid ten goede komen. Om het Navier–Stokes-probleem op te lossen, gebruikten we een intern model dat aanzienlijk capabeler is dan GPT‑6 Astra. We vinden het belangrijk om de wereld te informeren over het tempo van de vooruitgang in AI en over wat er van komende modellen te verwachten valt.
Een fundamentele open vraag over deze dynamische vergelijkingen was of de continuümbenadering van de vloeistof kan falen. Concreet: kunnen de Navier–Stokes-vergelijkingen voor een driedimensionale onsamendrukbare vloeistof met constante dichtheid een "singulariteit" ontwikkelen, zelfs wanneer de beweging glad begint? Een singulariteit betekent hier dat de dynamiek ertoe leidt dat snelheden in de vloeistof binnen eindige tijd onbegrensd toenemen. Een singulariteit zou zich moeten ontwikkelen ondanks de aanwezigheid van viscositeit, die beweging doorgaans gladstrijkt. Omdat een echte vloeistof niet oneindig snel kan bewegen, zou dit betekenen dat de vergelijkingen de vloeistof niet langer correct modelleren. Om het systeem verder te modelleren, zou vervolgens het gedrag van elk deeltje afzonderlijk moeten worden gevolgd.
De vergelijkingen gaan terug op het negentiende-eeuwse werk van Claude-Louis Navier en George Gabriel Stokes. In 1934 bewees Jean Leray dat oplossingen in algemene zin bestaan, maar de vraag of ze altijd glad blijven, werd een centraal onopgelost vraagstuk. In 2000 benoemde het Clay Mathematics Institute het Navier–Stokes-probleem over bestaan en gladheid tot een van de zeven millenniumprijsproblemen.
De oplossing is een vortex, een draaiende werveling van vloeistof, die naar binnen spiraalt en steeds verder wordt uitgerekt, als spaghetti. Dit centrale gebied krimpt terwijl het versnelt, en wel zo dat zijn energie eindig blijft, zoals de natuurwetten vereisen. De technische uitdaging is dat de vergelijkingen de instorting door de beweging van de vloeistof zelf laten ontstaan, en niet doordat we bijvoorbeeld handmatig een oneindige kracht invoeren. Wiskundiger gezegd: de termen in de Navier–Stokes-vergelijkingen die de beweging beschrijven — versnelling, drukgradiënten, impulsoverdracht en viscositeit — moeten zowel groot worden als elkaar op precieze wijze opheffen. Door dit nauwkeurige evenwicht blijft de externe kracht glad, zelfs wanneer de snelheid van de vloeistof onbegrensd toeneemt.
Diagram van een draaiende vortex dat de binnenwaartse spiraal en axiale uitrekking illustreert. Een momentopname van lokale onsamendrukbare beweging. Oranje duidt een snellere hoekrotatie aan; blauwgroen een tragere rotatie. De omloopsnelheid hangt ook af van de straal. De trajecten tonen een binnenwaartse spiraal en axiale uitrekking.
Prestaties van GPT-6 Astra en ons interne model bij een zorgvuldig samengestelde reeks open wiskundige problemen Op dinsdag 1 september hoorden we geruchten dat twee millenniumprijsproblemen waren opgelost. Geïnspireerd door deze geruchten en de sprongsgewijze prestatieverbetering van ons interne model, begonnen we het te evalueren op alle openstaande millenniumprijsproblemen en enkele andere vraagstukken met grote impact.
We gebruikten een systeem van samenwerkende agenten, aangestuurd door ons interne model. De agenten hadden toegang tot hulpmiddelen, waaronder een gecachte versie van het internet en de mogelijkheid om code uit te voeren. De agenten werden verdeeld in groepen waarbinnen ze met elkaar konden communiceren. De groepen verschilden in omvang; bij de groep die het Navier–Stokes-probleem oploste, waren ongeveer 10.000 agenten gelijktijdig actief. We handhaafden voortdurend dezelfde strenge veiligheidsmaatregelen die we toepassen bij al onze evaluaties van grensverleggende modellen, waaronder monitoring en isolatie.
Voor elk probleem gaven we verschillende groepen agenten verschillende varianten van de probleemstelling, zodat alle varianten van het probleem aan bod kwamen. Voor het Navier–Stokes-probleem legden we afzonderlijke groepen agenten versies "A" en "B" voor (specifieke vormen van het Navier–Stokes-probleem die tot een bewijs zouden leiden) en versies "C" en "D" (die tot een weerlegging zouden leiden).
Naast de volledige millenniumprijsproblemen vroegen we ons multi-agentsysteem ook een reeks "eenvoudigere" problemen te proberen. Een daarvan was een vergelijkbare vraag over het ontstaan van een singulariteit in de limiet van het Navier–Stokes-probleem waarbij de viscositeitsterm is weggelaten. Dit staat bekend als het regulariteitsprobleem voor de Euler-vergelijkingen, en onze agenten verrasten ons door dit vraagstuk op te lossen. De specifieke variant die ze oplosten, was de ongeforceerde versie, waarbij geen externe kracht op de vloeistof wordt uitgeoefend. Bijna 100 agenten werkten ongeveer 50 uur samen om onze weerlegging van Euler-regulariteit op te stellen1.
Toen we de Euler-oplossing zagen, leek Navier–Stokes ons het kansrijkste probleem om aan te werken. Daarom besloten we onze middelen in te zetten voor Navier–Stokes. We haalden daarvoor agenten weg bij de andere millenniumprijsproblemen en gaven hun de Euler-oplossing als prompt. Toen tijdens het project een verder getrainde versie van ons interne model beschikbaar kwam, schakelden we onze agenten over op dat model.
We moedigden verschillende groepen agenten aan om uiteenlopende benaderingen te verkennen. Na enige tijd lieten we de agentengroepen elkaars werk benutten door Codex de nuttigste inzichten uit elke groep te laten samenvoegen. Deze vervolgprompts bouwden voort op de tussentijdse resultaten van de agenten zelf. De groep die de oplossing voor Navier–Stokes vond, werd op deze manier aangestuurd. De agenten kwamen op zaterdag 5 september tot hun oplossing, ongeveer 88 uur nadat de eerste agenten waren gestart. De formalisering en verificatie in Lean namen via GPT‑6 Astra nog eens 17 uur in beslag. Voor alle onderzochte problemen samen verstuurden de agenten 4,9 miljoen berichten en gebruikten ze ongeveer 300 miljard uitvoertokens. Bij het oplossen van het Navier–Stokes-probleem verstuurden de agenten 2,7 miljoen berichten en gebruikten ze ongeveer 130 miljard uitvoertokens.
Wij (de onderzoekers en de agenten) hebben hun werk op geen enkele manier gezien voordat zij het openbaar maakten — er zijn met name geen specifieke gebruikersgegevens geraadpleegd om dit probleem op te lossen.
Na onderzoek hebben we bevestigd dat de Codex-prompts van Buckmaster in de twee maanden voorafgaand aan deze aankondiging en publicatie op 8 september 2026 het systeem op geen enkele manier konden hebben beïnvloed, ook niet via training. Het interne model van OpenAI dat voor dit resultaat is gebruikt, werd ontwikkeld door grootschalig reinforcement learning toe te passen op een eerder voorgetraind model. Onze bewijzen verschillen bovendien aanzienlijk. Voor Euler bewezen Alpöge en Buckmaster een resultaat met externe kracht, terwijl het systeem van OpenAI een resultaat zonder externe kracht bewees.
Deze mijlpaal is het resultaat van aanzienlijk werk door wiskundigen en AI-onderzoekers. Dit is echter geen eindpunt, maar een momentopname van de vooruitgang in de ontwikkeling van AI.
We denken dat we nu een nieuwe fase van AI-vooruitgang zijn ingegaan, en de resultaten van vandaag vormen daarvoor aanvullend bewijs. We richten ons op het begrijpen van dit model en gebruiken wat we leren om te bepalen hoe we verdere vooruitgang in capaciteiten sturen en het tempo ervan bewaken. Een van onze belangrijkste doelen is AI-systemen te bouwen die stuurbaar en controleerbaar zijn en in verbinding staan met mensen. Dit kan bewustere keuzes over het tempo van de vooruitgang vereisen terwijl we onze missie voortzetten om ervoor te zorgen dat AGI de hele mensheid ten goede komt.
Go Back to URL Review
Back to my home page Index